Данная утилита реализует решение прямой двумерной задачи на геопотенциальные поля (на профиле): расчёт одномерной сеточной модели поля по плотностной 2D модели среды. Утилита и её функциональность аналогична утилите Прямая задача (геопотенциальные поля) (ДПФ), но для двумерной задачи. На этой странице изложены основные отличия от 3D варианта; на странице для 3D варианта метод, алгоритм и описание утилиты изложены более подробно.

Математическая формулировка

Метод основан на численном интегрировании функции физического параметра, заданной на 3D сетке. Каждой точке сетки ставится в соответствие ячейка - прямоугольник, заполняющий пространство вокруг этой точки. Ячейки одинаковые (конгруентные), пересекаются не более чем своими сторонами (с нулевой площадью), и заполняют всю площадь между точками. Таким образом, модель является конечноэлементной с элементами - прямоугольниками.

Формулировка моделей

Модель среды задаётся регулярной 3D сеткой ${\displaystyle \mathrm{{\rm Y}}=(x,z)\subset {\mathbb{ℝ}}^2}$.

Двумерная модель поля задаётся функцией ${\displaystyle u(x)}$ от ${\displaystyle x}$ латеральной координаты, модель распределения физического параметра - функцией ${\displaystyle g(x,z)}$ от латерали ${\displaystyle x}$ и глубины ${\displaystyle z}$ на нижней полуплоскости ${\displaystyle S}$. Каждой ячейке ставится в соответствие одно значение физического параметра (плотности, намагниченности, восприимчивости...). и все точки одной ячейки имеют одно и то же значение физического параметра.

Модель поля задаётся как функция ${\displaystyle u(x_0)}$ от точек поля ${\displaystyle (x_0)\in \mathrm{\Omega }\subset \mathbb{ℝ}}$, ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ - сетка поля. При этом в 2D пространстве все точки находятся на заданной высоте ${\displaystyle z_0}$, которая для простоты изложения ниже принимается за 0.

Предполагается, что ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$ и ${\displaystyle \mathrm{{\rm Y}}}$ соответствуют друг другу: для каждой точки ${\displaystyle (x,z)\in \mathrm{{\rm Y}}}$ есть точка ${\displaystyle (x)\in \mathrm{\Omega }}$, и наоборот, ${\displaystyle (x)\in \mathrm{\Omega }⟹\mathrm{\exists }z:(x,z)\in \mathrm{{\rm Y}}}$.

Взаимосвязь между моделями

Взаимосвязь между распределением физического параметра в полуплоскости ${\displaystyle V}$ под прямой ${\displaystyle z_0}$ и полем, заданным на прямой ${\displaystyle z=0}$:

${\displaystyle u(x_0)=\left[Ag\right](x_0)=\underset{V}{\iint }g(x,z)k(x-x_0,z)dxdz}$, (1)

где ${\displaystyle A=A(g)}$ - (линейный) оператор прямой задачи, а ${\displaystyle k(x,z)}$ - поле от точечной массы или магнитного диполя. Такая 2D точка имеет аналог в 3D задаче в виде бесконечного стержня.

Гравитационная задача

Первая вертикальная производная гравитационного потенциала: ${\displaystyle k(x,z)=2\gamma \frac{-z}{r^2}}$, где ${\displaystyle r=\sqrt{x^2+z^2}}$.

Поддерживается также 2.5D задача - случай, когда аналогичные 3D стержни не бесконечные, а простираются на одинаковую длину в обе стороны по мнимой оси ${\displaystyle oY}$. Тогда ${\displaystyle k(x,l_y,z)=2\gamma \frac{-z{l}_y}{r^2\sqrt{x^2+l_y^2+z^2}}}$, где ${\displaystyle l_y}$ - половина длины стержня.

Магнитная задача

Задача на магнитное поле поддерживается только при вертикальном наклонении.

Для задачи на намагниченность ${\displaystyle \overrightarrow{M}}$: ${\displaystyle k(x,z)=C\frac{\overrightarrow{M}}{|\overrightarrow{M}|}2(2\frac{\overrightarrow{M}\overrightarrow{r}}{r^4}\overrightarrow{r}-\frac{\overrightarrow{M}}{r^2})}$

Дискретизация

Дискретизация производится по тем же принципам, что и в 3D, но отсутствует ось ${\displaystyle oY}$, координата ${\displaystyle y}$ и, соответственно, индекс ${\displaystyle j}$.

Краевые эффекты и экстраполяция

Так как дискретные преобразования Фурье (ДПФ) - периодические, то свёртка тоже периодическая. В связи с этим проявляются краевые эффекты, которые выражаются в том, что на значения результирующего поля с одного края сетки влияют значения физического параметра с другого края. Для подавления краевых эффектов рекомендуется использовать экстраполяцию отражением (зеркальную).

Параметры

• Исходная ТОС 1D и исходное свойство: ТОС и свойство, содержащее распределение физического параметра.
• Высота поля (Z) - высота, на которой находится плоскость, содержащая сетку, в которой рассчитывается поле, м.
• Экстраполяция - Повтор или Отражение. Повтор: значение точек за краем данных равно значению точек с противоположного края. Отражение: значение точек за краем данных равно значению точек с этого же края с отступом внутрь, равным отступу наружу.
• Физическое поле - гравитационная или магнитная прямая задача.
• Элементарная ячейка - двумерная или 2.5-мерная задача (2D или 2.5D); в случае 2D - бесконечный стержень или прямоугольная призма.
• Полуширина - для 2.5-мерной задачи; указывается половина ширины модели.
• Целевая ТОС 1D и целевое свойство: ТОС, в которую будет записан результат. Если ТОС уже существует и совместима по привязке с исходной ТОС, то в неё будет добавлено новое свойство. Если свойство с указанным именем уже существует, будет запрошено подтверждение за перезапись свойства. Предлагается несколько имён свойств на выбор, но можно ввести собственный вариант имени свойства.