Сшивка сеток (Геофизическое моделирование)

Утилита реализует плавный переход значений при сшивке сеток. Используется для сшивки полей, но может быть использовано для сшивки любых видов сеточных данных.

При сшивке сеток они должны быть корректно приведены к одной системе координат, после чего следует создать единую сетку, покрывающую все исходные сетки, и записать в неё данные исходных сеток в виде отдельных свойств (возможно, с использованием пересчёта - например, интерполяции). В точках единой сетки с отсутствующими исходными данными значения свойств должны быть заданы как пропуски.

Заранее определяется маска сшивки. В рамках этой макси обеспечивается плавный переход значений между её краями; вне её значения остаются равными значениям из исходных сеток.

Простое описание

На прямоугольной 2D сетке (множестве точек) заданы значения полей (свойств, функций) $P_{1} (i, j), P_{2} (i, j), . . ., P_{n} (i, j)$ , причём порядок важен. Также определена маска, определяющая область сшивки. Тогда:

Для каждой точки вне маски в результат $R (i, j)$ записывается первое непустое значение свойства $P_{k} (i, j)$ , начиная от первого: $R (i, j) = P_{k} (i, j)$ Если ни одно из свойств не задано в этой точке, результат $R (i, j)$ в этой точке берётся пустым.
Для каждой точки внутри маски рассчитывается некоторая локальная характеристика свойства (для полей она выражает характер локальной аномалии), а конкретно - значение оператора Лапласа:
- Берётся первое свойство Pk, для которого во всех пяти точках пятиточечного шаблона оператора Лапласа имеются непустые значения.
  - Рассчитывается значение оператора Лапласа $Δ R (i, j)$ .
- Если такого Pk не найдено, принимается ΔR(i,j)=0.
  - Можно считать, что в связной области точек и нулевым оператором Лапласа отсутствует локальная аномалия поля.
На основе рассчитанных значений $R (i, j)$ и $Δ R (i, j)$ строится и решается система линейных уравнений. Для граничных точек, где $R (i, j)$ - задана, принимаются краевые условия Дирихле, иначе - Неймана со значением производной, равным нулю.

Порядок свойств - важен, и следует соблюдать следующий принцип их упорядочивания: свойства следует располагать сверху вниз - от более детальных к менее детальным, или поля следует располагать от локальных к региональным.

О физических аналогиях

Задача в каком-то смысле аналогична дискретизированной форме краевой задачи Пуассона. Но важно помнить, что метод не имеет отношения к физическим законам, стоящим за гравитационным или магнитным полями. Вспомним, что эти поля подчиняются уравнению Лапласа вне источников, и Пуассона - в точках, принадлежащих источникам поля, но уравнение содержит в себе производные по трём осям, в то время как метод учитывает производные только по двум горизонтальным осям. Единственное, что обеспечивает метод, это видимую непрерывность результирующей функции и её производной в области маски. При этом может продуцироваться разрыв первой производной на границе маски, который можно увидеть при высокочастотной фильтрации поля (например, Фильтрация Фильтром Баттерворта).

Математическая формулировка

Метод основан на построении и решении дискретизированной системы уравнений Пуассона. При этом метод исходит не из краевой задачи, а из следующих требований:

непрерывность результирующей функции;
сохранение локальных аномалий.

Общая сшивка

На множестве исходных свойств ${P_{1} (i, j), . . ., P_{n} (i, j)}$ рассчитываются конечные разности для оператора Лапласа: $Δ P_{k} (i, j) = \frac{\partial^{2} P_{k}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} P_{k}}{\partial y^{2}} \approx - 4 P_{k} (i, j) + P_{k} (i - 1, j) + P_{i} (i + 1, j) + P_{i} (i, j - 1) + P_{i} (i, j + 1)$ . В точках, где хотя бы одно из пяти значений ( $P_{k} (i, j)$ или в четырёх соседних c $(x, y)$ точках) не заданы, принимается, что значение $Δ P_{k} (i, j)$ – пропуск.

Для точек, принадлежащих маске $S = {(i, j)}$ , вычисляются значения общего оператора Лапласа как $Δ R (i, j) = C o a l e s c e (Δ P_{1} (i, j); . . .; Δ P_{n} (i, j); 0)$ , где $C o a l e s c e (. . .)$ равна первому из значений аргументов, не являющихся пропуском. Также в точках вне маски ( $(i, j) \notin S$ ) записываются значения $ℝ (i, j) = C o a l e s c e (P_{1} (i, j); . . .; P_{n} (i, j); n i l)$ .

Далее решается краевая задача Пуассона: вычисляются значения $R (i, j)$ в точках $(i, j) \in S$ при заданных значениях $Δ R (i, j)$ . Краевые условия определяются следующим образом: если в точках $(i, j) \notin S$ , граничащих с маской $S$ , определено значение $R (i, j)$ , то определяется краевое условие на значение $R (i, j)$ (Дирихле), иначе (если значение в точке не определено, так как не определено значение ни одной из функций $P_{k}$ , либо точка результирующей сетки не входит в исходные сетки) – краевые условия Неймана вида $\frac{\partial R}{\partial \vec{n}} (x, y) = 0$ , где $\vec{n}$ – нормаль к границе.

Как правило, такое условие Неймана не является наилучшем в каждом случае. Чем большая доля границы находится в неопределённой области, тем хуже результат сшивки.

Наложение заплатки

В случае если требуется вставить более детальную сетку (заплатку) в менее детальную область (фон), следует использовать функционал наложения заплатки. В этом случае определены только функции $P_{1} (i, j)$ и $P_{2} (i, j)$ , соответствующие заплатке и фону; маска полностью включает область определения заплатки и может включать дополнительную область фона. Главное отличие от общей сшивки заключается в управлении трендом через постобработку вычисленных значений $Δ R (i, j)$ . То есть, при решении краевой задачи используется $Δ \hat{R} (i, j)$ , вычисляемое следующим способом:


Тип обработки тренда	Формула
Тренд фона	$Δ \hat{R} (i, j) = Δ R (i, j) - M [Δ P_{1} (i, j)] + M [Δ P_{2} (i, j)]$
Удаление тренда	$Δ \hat{R} (i, j) = Δ R (i, j) - M [Δ P_{1} (i, j)]$
Без обработки	$Δ \hat{R} (i, j) = Δ R (i, j)$

Такая коррекция производится для тех точек области $S$ , в которых определена $Δ P_{1} (i, j)$ . $M [x]$ обозначает среднее значение в области $S$ (пропуски не учитываются).

Параметры

Общая сшивка сеток

Исходная ТОС 2D: результирующая сетка с помещёнными в неё исходными данными в виде свойств ТОС. Должна быть создана вне этой утилиты.
Свойства для сшивания: свойства для сшивки. Если в точке определено больше одного свойства, значения берутся из свойства, находящегося выше по списку.
Маска сшивания: маска из грида или из одного или нескольких полигонов. Для маски из грида используется свойство ТОС (1 - значения меняются, 0 - остаются как есть). В случае использования полигонов маска сшивания берётся из SHP-файла; в случае наличия более одного полигона используется их пересечение.
Полигон маски сшивания: полигональный SHP-файл.
Максимальное количество итераций: чем больше, чем точнее результат с точки зрения формализма, изложенного в разделе "метод и алгоритм", но тем медленнее вычисляется результат.
Целевое свойство: результирующее свойство (в свойство с этим именем будет записан результат, или создано новое свойство с указанным именем).

Наложение заплатки

Исходная ТОС 2D: результирующая сетка с помещёнными в неё исходными данными в виде свойств ТОС. Должна быть создана вне этой утилиты.
Фон: имя свойства для фона, на который накладывается одна заплатка.
Заплатка: имя свойства для накладываемой заплатки.
Маска сшивания: имя свойства для маски сшивания. Опционально; если маска не указана, используется область задания заплатки.
Обработка тренда: тип обработки тренда. {Control|Тренд фона}, {Control|Удаление тренда} или {Control|Без обработки}.
Максимальное количество итераций: чем больше, чем точнее результат с точки зрения формализма, изложенного в разделе "метод и алгоритм", но тем медленнее вычисляется результат.
Целевое свойство: результирующее свойство (в свойство с этим именем будет записан результат, или создано новое свойство с указанным именем).